Deret Bilangan Aritmatika Dan geometri

Posted by

Loading...
Deret hitung atau deret aritmetika dalam bidang matematika adalah urutan bilangan di mana bilangan berikutnya merupakan penambahan bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan beda tertentu. Contohnya adalah 3,5,7,9,11,13, .....

Deret Bilangan Aritmatika Dan geometri

A. Pengertian Dan Macam Deret Bilangan 
Deret bilangan yaitu jumlah dari suku – suku dari suatu barisan .
Jika U1 , U2 , U3 , U4 , . . . .Disebut dengan barisan bilangan , maka bentuk deret bilangan adalah U1 + U2 + U3 +…
advertisements
Contoh :
3 + 7 + 11 + 15 + . . .
Macam – macam deret bilangan yaitu :
  • Deret bilangan aritmatika
  • Deret bilangan geometri
B. Definisi Deret bilangan aritmatika dan deret bilangan geometri 
  1. Deret Bilangan Aritmatika 
Deret aritmatika , yaitu suatu jumlah dari suku – suku barisan bilangan aritmatika .
Jika a , a+b , a+2b , a+3b , a+4b , . . . .a+(n-1)b adalah barisan bilangan aritmatika maka bentuk dari deret aritmatika adalah a+ (a+b) + ( a+2b) + (a+3b) + (a+4b) + . . . .
Rumus Jumlah deret aritmatika suku ke n  adalah :
Sn = 1/2  n ( a+ Un )  atau Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ] 
Keterangan :
Sn = jumlah suku ke n
n = Banyaknya suku
b = rasio atau beda
Contoh soal :
  1. 4 + 9 + 14 + 19 + . . .
Dari deret bilangan diatas , tentukan S30 = . . ?
Penyelesaian :
Diketahui : a = 4 , b = 5
Un = a + ( n – 1 ) b
U30 = 4 + ( 30 -1 ) 5
= 4 + 29.5
= 4 + 145
= 149
maka , S30 adalah :
Cara 1 
Sn = 1/2  n ( a+ Un )
S30 = 1/2 . 30 ( 4 + 149 )
= 15 x 153
= 2295
Cara 2
Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]
S30 = 1/2 30 [ 2.4 + ( 30 – 1 ) 5 ]
= 15 [ 8 + 29 .5 ]
= 15 ( 8 + 145 )
= 15 ( 153 )
= 2295
2. Tentukan nilai n dan sn dari deret aritmatika dibawah ini :
3 + 7 + 11 + 15 + . . .+ 199
Penyelesaian :
Diketahui : a = 3 , b = 4
Ditanya :
a.) n = . . .
b.) Sn = . . .
Jawab :
a.) Un = a + ( n -1 ) b
199 = 3 + ( n – 1 ) 4
199 = 3 + 4n -4
199 = -1 + 4n
200 = 4n
50 = n
b.) cara 1
Sn = 1/2  n ( a+ Un )
S50 = 1/2 .50 ( 3 + 199 )
= 25 ( 202 )
= 5050
Cara 2
Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]
S50 = 1/2.50 [ 2.3 + ( 50 – 1 ) 4 ]
= 25 [ 6 + 49.4 ]
= 25 ( 6 + 196 )
= 25 ( 202 )
= 5050
3. Tentukan Sn , dari deret aritmatika berikut :
1 + 5 + 9 + 13 + . . . + U10
Penyelesaian :
Diketahui :
a = 1 , b = 4 , n = 10
Ditanya : Sn = . . . ?
Jawab :
Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]
S10 = 1/2.10 [ 2.1 + ( 10 – 1 ) 4 ]
= 5 [ 2 + 9.4 ]
= 5 ( 2 + 36 )
= 190
4. Diketahui suatu deret aritmatika suku ke5 = 13 dan suku ke 9 = 21 . Tentukan :
a.) nilai a dan b
b.) U10
c.) S11
Penyelesaian ;
a.) U5 = 13 —> a + 4b = 13
U9 = 21 —> a+ 8b = 21   _
-4 b = -8
b = 2
a + 4b = 13
a + 4.2 = 13
a + 8 = 13
a = 5
b.) U10 = a + 9b
U10 = 5 + 9 .2
u10 = 5 + 18   =  23
c.) Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]
S11  = 1/2 .11 [ 2.5 + ( 11 – 1 ) 2 ]
 S11 = 1/2 .11 [ 10 + 10.2 ]
S11 = 1/2.11 ( 30 )
S11 = 165
2. Deret Bilangan Geometri 
Deret bilangan geometri , yaitu jumlah dari barisan bilangan geometri .
Jika bentuk barisan bilangan geometri adalah  a , a.r , a.r2 , a.r3 , a.r4 , a.r5  . . . . a.rn-1 maka bentuk dari deret bilangan geometri adalah  a + a.r + a.r2 + a.r3 + a.r4 + a.r5  . . . .a.rn-1
Jumlah n suku pertama dari deret geometri atau yang dilambangkan dengan Sn , adalah :
Sn = a + a.r + a.r2 + a.r3 + a.r4 + a.r5  . . . .a.rn-1
Apabila rumus di atas kita kalikan dengan r . maka akan menghasilkan rums sebagai berikut :
rSn =   a.r + a.r2 + a.r3 + a.r4 + a.r5  + a.r6. . . .a.rn-1  a.rn
Dari kedua persamaan diatas , kita kurangkan maka akan dihasilkan sebagai beriikut :
Sn = a + a.r + a.r2 + a.r3 + a.r4 + a.r5  . . . .a.rn-1
rSn =   a.r + a.r2 + a.r3 + a.r4 + a.r5  + a.r6. . . .a.rn-1  a.rn
                                                                                                                                    _
Sn – rSn = a –  a.rn
Sn ( 1 – r ) = a ( 1 – r)
Sn =  a – a r / 1 – r
Sn = a ( 1 – r) / ( 1 – r )
Jadi , dapat kita simpulkan bahwa , rumus jumlah n suku pertama dalam deret geometri adalah :
Sn = a – a r / 1 – r atau Sn = a ( 1 – rn) / 1 – r  , dengan r  ≠ 1
Untuk lebih jelasnya lagi , maka perhatikan contoh – contoh soal di bawah ini :
  1. Diketahui sebuah deret geoetri , dimana U3 = 18 , dan U6 = 486 . Tentukan :
a.) a dan r
b.) S10
Penyelesaian :
a.) U6 = 486 –> a.r 5= 486
 U3      =     18  –>  a.r2  = 18
U6 / U3 = 486 / 18   —–>  a.r 5 /   a.r2  =  486 / 18
                                                     r= 27
                                                      r = 3
a.r2  = 18   
a.32  = 18
a.9 = 18
a = 2
b.) Sn = a ( 1 – rn ) / 1 – r
S10 = 2 ( 1 – 310 ) / ( 1 – 3 )
S10 = 2 ( -59048  ) / ( -2 )
S10 = 59048
2. Perhatikan deret bilangan geometri berikut:
2 + 6 + 18 + 54 + . . . . .+ 1458 , tentukan Sn !
Penyelesaian :
Diketahui : a = 2 dan r = 3
Jawab :
Langkah pertama mencari n terlebih dahulu , yaitu dengan cara :
Un = a.rn-1
1458  = 2 . 3n-1
1458 /2 = 3n-1
729 = 3n-1
3= 3n-1
n – 1 = 6
n = 7
Selanjutnya , tinggal masukkan ke dalam rumus :
Sn = a ( 1 – rn ) / 1 – r
S7 = 2 ( 1- 3) / 1- 3
S7 = 2 ( 1-2187 ) / -2
S7 = 2187

Loading...
loading...

FOLLOW and JOIN to Get Update!

Social Media Widget SM Widgets




Peternakan dan Herbal Updated at: 00:02

0 komentar:

Post a Comment

Copyright@2014-2016. www.AgrobisnisInfo.com . Powered by Blogger.